Soma da série de Grandi

Ver artigo principal: Série de Grandi

Considerações gerais

Estabilidade e linearidade

As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de ¹⁄₂ inclui:

• Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo,
• Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
• "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
• Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série.

Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente.

Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: soma de Cesàro e soma de Abel.

Separação de escalas

Dado qualquer função φ(x) tal que φ(0) = 1, o limite de φ a +∞ é 0, e a derivada de φ é integral sobre (0, +∞), então a generalizada φ-soma da série de Grandi existe e é igual a ¹⁄₂:

$S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\varphi (\delta m)={\frac {1}{2}}.$

A soma de Cesàro ou Abel é recuperada por deixar de φ ser uma função triangular ou exponencial, respectivamente. Se φ é assumido adicionalmente ser continuamente diferenciável, então a reivindicação pode ser provada aplicando o teorema do valor médio e convertendo a soma em em integral. Rapidamente:

${\begin{array}{rcl}S_{\varphi }&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }\left[\varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta -\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }\varphi '(2k\delta +c_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}.\end{array}}$

Referências

• Bromwich, T.J. (1926) [1908]. An Introduction to the Theory of Infinite Series 2e ed. [S.l.: s.n.] 
• Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-65973-9 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. [S.l.]: Clarendon Press 
• Kline, Morris (1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine. 56 (5): 307-314 
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. [S.l.]: Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1,  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Smail, Lloyd (1925). History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. [S.l.]: University of Oregon Press 
• Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. [S.l.]: Stanford M.S. theses